Теория вероятностей — популярное

Теория вероятностей изучает случайные события и закономерности, возникающие при их массовом повторении.

Дополнительно

Игральные кости (кубики) — один из самых наглядных инструментов для изучения теории вероятностей.

Игральный кубик — это правильный шестигранный кубик с гранями от 1 до 6. Каждый бросок кубика даёт равновероятный исход, что делает его идеальным объектом для изучения основ теории вероятностей.

Классическая вероятность рассчитывается по формуле:
P(A) = благоприятные исходы / все исходы.

Например, при броске одного кубика есть 6 возможных исходов, а при броске двух кубиков — 36 исходов: (1,1), (1,2), ..., (6,6).

Независимость событий: результат броска одного кубика не влияет на результат другого, что упрощает расчёты в задачах с несколькими кубиками.

🔹 Группа 1: Один и два кубика

Задача 1: Вероятность, что выпадет число, делящееся на 3?

Решение: Благоприятные исходы — это числа 3 и 6. Всего исходов 6. P = 2/6 = 1/3 ≈ 33.33%.

Задача 2: В настольной игре нужно пройти ровно 5 клеток. Какова вероятность этого при броске одного кубика?

Ответ: Только один исход (выпадение 5) благоприятен. P = 1/6 ≈ 16.67%.

Задача 3: Какова вероятность, что сумма двух кубиков равна 8?

Решение: Благоприятные исходы: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Всего 5 исходов из 36. P = 5/36 ≈ 13.89%.

Задача 4 (Монополия): В игре Монополия игрок пропускает ход, если сумма двух кубиков равна 2 или 12. Какова вероятность этого?

Ответ: Благоприятные исходы: (1,1) для суммы 2 и (6,6) для суммы 12. Всего 2 исхода из 36. P = 2/36 = 1/18 ≈ 5.56%.

🔹 Группа 2: «Хотя бы один», условные и повторные броски

Задача 5: Какова вероятность, что при двух бросках кубика хотя бы один раз выпадет «6»?

Решение: Легче вычислить вероятность противоположного события — что «6» не выпадет ни разу. P(нет «6») = (5/6)² = 25/36. Тогда P(хотя бы одна «6») = 1 - 25/36 = 11/36 ≈ 30.56%.

Задача 6 (ролевая игра): В ролевой игре критический успех наступает, если хотя бы на одном из трёх кубиков выпадает «1». Какова вероятность критического успеха?

Ответ: P(нет «1») = (5/6)³ = 125/216. P(хотя бы одна «1») = 1 - 125/216 = 91/216 ≈ 42.13%.

Задача 7: Известно, что сумма двух кубиков чётная. Какова вероятность, что оба кубика показывают чётные числа?

Решение: Всего исходов с чётной суммой — 18. Благоприятные исходы, где оба числа чётные: (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6) — 9 исходов. P = 9/18 = 1/2 = 50%.

Задача 8: Какова вероятность, что при четырёх бросках кубика «6» выпадет ровно два раза?

Решение: Используем формулу биномиального распределения: C(4,2) × (1/6)² × (5/6)² = 6 × 1/36 × 25/36 = 150/1296 = 25/216 ≈ 11.57%.

🔹 Группа 3: Нестандартные и игровые сценарии

Задача 9: Известно, что при броске двух кубиков хотя бы на одном выпала «6». Какова вероятность, что «6» выпала на обоих кубиках?

Ответ: Благоприятные исходы: только (6,6). Все исходы с хотя бы одной «6»: 11 (включая (6,6)). P = 1/11 ≈ 9.09%.

Задача 10: Кубик перебрасывают, если выпало число ≤3. Какова вероятность, что итоговый результат будет ≥4?

Решение: Сначала вероятность выпадения ≥4 сразу: 3/6 = 1/2. Если выпало ≤3 (вероятность 1/2), перебрасываем, и снова вероятность ≥4: 1/2. Итог: P = 1/2 + (1/2 × 1/2) = 1/2 + 1/4 = 3/4 = 75%.

Задача 11: Алиса и Боб бросают по одному кубику. Какова вероятность, что у них выпадет одинаковое число (ничья)?

Ответ: Благоприятные исходы: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) — 6 исходов из 36. P = 6/36 = 1/6 ≈ 16.67%.

🎲 Генератор задач: Кубики и вероятность

В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в каждом отдельном автомате, равна 0,3. В обоих автоматах кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. Вечером пришел мастер, чтобы обслужить автоматы, и обнаружил, что в первом кофе закончился. Какова теперь вероятность того, что во втором автомате кофе тоже закончился?

https://study.tinpul.ru/kofe-avtomaty-·-zadachi-po-veroyatnosti/

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 11, но, не дойдя до отметки 2 часа.

У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, шесть неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 3 жёлтых и 2 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,14. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

На экзамене 50 билетов, Яша не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

В магазине канцтоваров продаётся 120 ручек: 32 красных, 32 зелёных, 46 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.

Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.

Из ящика, где хранятся 7 желтых и 14 зеленых карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зеленым. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зеленым.

В ящике лежат гелевые ручки: 8 синих, 6 красных и 32 зеленых. Надя достает случайным образом две ручки. Какова вероятность, что она достанет одну синюю и одну красную ручки?

Симметричный игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность события «сумма выпавших очков равна 3, 4 или 5».

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 4 или 7.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.