В этой рубрике: сначала популярные по лайкам и комментариям. Уведомления — колокольчик справа.
Центральным углом окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.
Прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.
Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся теоремой синусов. Согласно ей, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности (2R):
AB/sinC=2R
Подставим известные значения в формулу:
AB=16
∠C=30∘
sin30∘=1/2
Получаем: 2R=16/sin30∘=16⋅2=32
Теперь найдем радиус R: R=32/2=16
Ответ: 16
В угол 𝐶 величиной 83 вписана окружность, которая касается сторон угла в точках 𝐴 и 𝐵, точка 𝑂 − центр окружности.
Можно заметить, что углы ∠C и ∠AOB в данном четырехугольнике являются противоположными, причем два других угла прямые.
Следовательно, их сумма равна 180: ∠AOB=180−83=97.
Через точку 𝐴, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке 𝐾. Другая прямая пересекает окружность в точках 𝐵 и 𝐶, причём 𝐴𝐵 = 2, 𝐵𝐶 = 6. Найдите 𝐴𝐾.
1. Теорема о касательной и секущей
Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезка секущей и её внешней части: AK^2=AB⋅AC
2. Вычисление длины секущей AC
Секущая проходит через точки A, B и C. Поскольку A лежит вне окружности, а B и C — на окружности, точки располагаются в порядке A,B,C. Следовательно, длина всей секущей AC равна сумме внешней части AB и хорды BC: AC=AB+BC=2+6=8
3. Вычисление длины касательной AK Подставим значения в формулу теоремы: AK^2=2⋅8=16
Извлечем квадратный корень: AK=4
1. Свойство вписанного четырёхугольника Сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180. В четырёхугольнике ABCD углы ∠A и ∠C являются противоположными.
2. Вычисление угла ∠C Составим уравнение: ∠A+∠C=180
Подставим известное значение ∠A: 82+∠C=180
Найдем ∠C: ∠C=180−82=98
1. Свойство центра описанной окружности
Если центр описанной окружности треугольника лежит на одной из его сторон, то эта сторона является диаметром окружности. Следовательно:
AB — диаметр окружности.
Треугольник ABC — прямоугольный, причем угол, опирающийся на диаметр, равен 90. То есть ∠C=90.
2. Вычисление длины стороны AB
Диаметр равен двум радиусам: AB=2⋅R=2⋅20=40.
3.Применение теоремы Пифагора
В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB и катеты AC и BC связаны соотношением: AB^2=AC^2+BC^2
Выразим BC^2: BC^2=AB^2−AC^2
Подставим числовые значения:
BC^2=40^2−32^2
BC^2=1600−1024
BC^2=576
Найдем BC: BC=24
Можно также заметить, что стороны относятся как 32:40=4:5, что соответствует египетскому треугольнику 3:4:5. Тогда третий катет равен 3⋅8=24.
