Тег #трапеция сбросить

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD (BC || AD) диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Тогда:

1. ΔBOC ~ ΔAOD (треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны).
   Доказательство:
   ∵ BC ║ AD, то:
   ∠OBC = ∠ODA (накрест лежащие при BC║AD и секущей BD),
   ∠OCB = ∠OAD (накрест лежащие при BC║AD и секущей AC),
   ∠BOC = ∠AOD (вертикальные углы).
   ⇒ ΔBOC ~ ΔAOD (по двум углам).

2. Коэффициент подобия: k = BC / AD.

3. Следствия:

   • Отношение отрезков диагоналей:  BO / OD = CO / OA = BC / AD.

   • Отношение площадей:  S(BOC) / S(AOD) = (BC / AD)²

     .

Дано: трапеция ABCD, BC = 4, AD = 10, OD = 15.
Найти: BO.
Решение:
ΔBOC ~ ΔAOD ⇒ BO / OD = BC / AD.
BO / 15 = 4 / 10 ⇒ BO = 15 * 4 / 10 = 6.
Ответ: BO = 6.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

 Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

 Теоремы: свойства трапеции

 1) Сумма углов при боковой стороне равна 180∘.

 2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики. Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

 Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

 2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

 3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

 2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

1. Представление площади через высоту

Пусть h — высота параллелограмма, проведенная к стороне AB. Тогда площадь параллелограмма вычисляется по формуле: SABCD=AB⋅h=180

2. Анализ фигуры DAEC

Трапеция DAEC состоит из всего параллелограмма за вычетом треугольника EBC. SDAEC=SABCD−S△EBC​

3. Площадь треугольника EBC

Треугольник EBC имеет основание EB и ту же высоту h, что и параллелограмм (расстояние между прямыми AB и CD). Так как E — середина AB, то EB=1/2AB. Площадь треугольника равна: S△EBC=1/2⋅EB⋅h=1/2⋅(1/2AB)⋅h=1/4⋅(AB⋅h)

Так как AB⋅h=SABCD=180, то: S△EBC=1/4⋅180=45

4. Площадь трапеции DAEC

Вычтем площадь треугольника из площади параллелограмма: SDAEC=180−45=135

Можно заметить, что площадь трапеции составляет 3/4 от площади параллелограмма, так как сумма оснований трапеции AE+DC=1/2AB+AB=3/2AB, а площадь параллелограмма соответствует сумме оснований AB+AB=2AB в формуле средней линии, либо просто через коэффициент 3/4⋅180=135

Ответ: 135

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Это означает, что такая трапеция всегда имеет два прямых угла (90) при одном из оснований.

Два других угла прилегают к другой боковой стороне. Поскольку основания трапеции параллельны, сумма углов при любой боковой стороне равна 180.

Найдем второй угол при этой же стороне: 180−64=116

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45. Найдите площадь этой трапеции

1. Построение высоты

Опустим перпендикуляры из вершин B и C на основание AD. Обозначим основания перпендикуляров как E и F соответственно.

• BE⊥AD, CF⊥AD — высоты трапеции (h).

• Четырёхугольник BCFE — прямоугольник, следовательно EF=BC=2.

2. Вычисление отрезка AE

Так как трапеция равнобедренная, треугольники ABE и DCF равны, значит AE=FD.

Выразим длину большего основания: AD=AE+EF+FD=2⋅AE+2

Подставим известное значение

AD=8: 8=2⋅AE+2  ⟹  2⋅AE=6  ⟹  AE=3

3. Нахождение высоты h

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE:

• ∠AEB=90

• ∠A=45

• AE=3

Так как один из острых углов равен 45, треугольник ABE — равнобедренный (∠ABE=45). Следовательно, катеты равны: h=BE=AE=3

(Или через тангенс: h=AE⋅tg⁡45∘=3⋅1=3)

4. Вычисление площади

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S=(BC+AD)/2⋅h

S=(2+8)/2⋅3=5⋅3=15

Ответ: 15

Сначала найдем полусумму оснований: (4+10)/2=14/2=7

Теперь умножим результат на высоту: S=7⋅5=35