1. Шестаков С. А., Захаров П. И. ЕГЭ 2018. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред.

2. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018. http://kaluginaee.lien.ru/userfiles/EGE%20pr13.pdf

3. Полещук О. М. Уравнения и неравенства. Методическое пособие для студентов первого курса. ⎯ М.: МГУЛ ⎯ 41 с.: https://mf.bmstu.ru/info/faculty/kf/caf/k6/learn/labs/urav_i_nerav.pdf

4. Алгебраические выражения, уравнения и неравенства : учеб. пособие / М. В. Глебова, Н. А. Осьминина, П. Г. Пичугина. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2018.  100 с.: https://elib.pnzgu.ru/files/eb/QnQN4iwePnQ9.pdf

5. Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства: https://s3.yandexcloud.net/pedproject/01/wp-content/uploads/2023/12/МасанинаТ.Н.-Османкина-С.И.-Сборник.pdf

6. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.: https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-15.pdf

7. Корянов А.Г., Прокофьев А.А.Методы решения неравенств с одной переменной: https://alexlarin.net/ege/2011/C3-2011.pdf

8. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной: https://eleskinanatali.ucoz.ru/test/C32012.pdf

9. «Математика. Подготовка к ЕГЭ. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» — учебно-методическое пособие авторов Ф. Ф. Лысенко и С. Ю. Кулабухова (2013): https://go.11klasov.net/1037-matematika-podgotovka-k-ege-nestandartnye-metody-resheniya-uravneniy-i-neravenstv-pod-red-lysenko-ff-kulabuhova-syu.html

10. ЕГЭ. Практикум по математике. Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений - Садовничий Ю.В.: https://go.11klasov.net/1009-ege-praktikum-po-matematike-reshenie-uravneniy-i-neravenstv-preobrazovanie-algebraicheskih-vyrazheniy-sadovnichiy-yuv.html

11. Элементарная математика. Уравнения и неравенства с модулем: учеб. пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2020. – 113 с: https://lpi.sfu-kras.ru/files/page_files/posobi_uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pdf

12. Элементарная математика. Иррациональные уравнения и неравенства: учебное пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2021. – 114 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/elementarnaya_matematika._irracionalnye_uravneniya_i_neravenstva_2021.pdf

13. Элементарная математика. Рациональные уравнения и неравенства / А.В.Фирер, Е.Н.Яковлева, А.П.Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2019. – 146с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/elementarnaya_matematika._racionalnye_uravneniya_i_neravenstva_2019.pdf

14. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.: https://dist-tutor.info/file.php/216/Povyshenie_kvalifikacii/02.pdf

15. Математическое образование. Электронная библиотека: https://www.mathedu.ru/catalogue/

16. Учебники по математике: https://go.11klasov.net/mathematics/

1. https://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/kv0501irrats.pdf
2. https://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/kv0601irrats.pdf
3. https://edu-potential.ru/images/catalog/Math/irrac-nerav-kol.pdf
4. https://edu-potential.ru/images/catalog/Math/Slojnie_zadachi_olimpiad_MFTI_1.pdf
5. https://www.resolventa.ru/data/metodsch/irrineq.pdf
6. https://rosuchebnik.ru/upload/iblock/c3c/c3cddbce6074dc776374aafa386053a3.pdf

1. https://reshala.vercel.app/malkova-15.pdf
2. https://mathus.ru/math/irrurs.pdf
3. https://mathus.ru/math/irraner.pdf

1. Галеев Э.М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ. Часть 2. Иррациональные уравнения и неравенства. Показательные уравнения и неравенства. Логарифмические уравнения и неравенства. Изд. 10-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2012. - 80 c.: https://autobuy.clan.su/0Yagubov/larin/10042Z_Yagubov.RU.pdf

2. Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Учебное пособие. Сургутский политехнический колледж, 2023: https://s3.yandexcloud.net/pedproject/01/wp-content/uploads/2023/12/МасанинаТ.Н.-Османкина-С.И.-Сборник.pdf
   Методические материалы по математике (иррациональные уравнения): https://go2phystech.ru/wp-content/uploads/2021/01/math_irr.pdf
   Миспахов А.Ш. Учебное пособие по математике. Раздел: «Иррациональные уравнения и неравенства» – Махачкала: ДГУНХ, 2018г., 23 с.: https://dgunh.ru/content/umk/math/ump_spo-6.pdf

3. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной: https://alexlarin.net/ege/2011/C3-2011.pdf
   

4. Элементарная математика. Иррациональные уравнения и неравенства: учебное пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2021. – 114 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/elementarnaya_matematika._irracionalnye_uravneniya_i_neravenstva_2021.pdf

5. Шахмейстер А. Х. - Иррациональные уравнения и неравенства - 2011.pdf

1. ЕГЭ. Уравнения и неравенства, содержащие модули: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/061.pdf

2. Галеев Э.М.Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 1. Рациональные неравенства (метод интервалов). Уравнения высших степеней. Уравнения и неравенства с модулем. Изд. 10-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2012. - 64 c.: https://autobuy.clan.su/0Yagubov/larin/10041Z_Yagubov.RU.pdf

3. Уравнения и неравенства с модулем. Метод интервалов. Графики функций. Составитель: Я.С. Агаханова, доцент кафедры высшей математики МФТИ. 2020, 41 с.: https://fizmat.space/zftsh/files/2020-2021/maths/9-klass/Uravneniya_i_neravenstva_s_modulem._Metod_intervalov._Grafiki_funktsy.pdf

4. Математика для школьников: модули. МЕХМАТ МГУ: mathematics-for-schoolchildren-kanunnikov-mpv0.pdf

5. Нестандартные методы решения неравенств и их систем: https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/folder/fxzryzeho4/direct/72787882

6. Абсолютная величина. Уравнения, неравенства, системы,задачи с модулями. Составитель:Ермеев Валерий Александрович, учитель математики МБОУ «Цивильская средняя общеобразовательная школа №1 им. М.В.Силантьева» Цивильского района Чувашской Республики: https://zivsosh1.ru/images/2018/metodbox/elektiv_ermeev_compressed.pdf

7. Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. — М.: МЦНМО, 2007. — 296 с. https://nzdr.ru/data/media/biblio/kolxoz/M/MSch/Kozko%20A.I.,%20Chirskij%20V.G.%20Zadachi%20s%20parametrom%20i%20drugie%20slozhnye%20zadachi%20(MCNMO,%202007)(ru)(296s)_MSch_.pdf

8. Рисберг В. Г. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ I): Учебное пособие под общей ред. И.Ю. Черниковой; ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В.Г. Рисберг; – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_4.pdf

9. Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ
   ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 66 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_5.pdf

10. Самаров К.Л. Уравнения и неравенства с модулями: https://www.resolventa.ru/data/metodsch/absvalue.pdf

11. Шахмейстер А. Х. - Дробно-рациональные неравенства - 2008.pdf

12. Шахмейстер А. Х. - Уравнения - 2011.pdf

13. Элементарная математика. Уравнения и неравенства с модулем: учеб. пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2020.– 113 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/page_files/posobi_uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pdf

14. Яковлев. Уравнения с модулем: https://mathus.ru/math/modulur.pdf

15. Яковлев. Неравенства с модулем: https://mathus.ru/math/modulner.pdf

16. Яковлев. Уравнения и неравенства с модулем: https://ege-study.ru/wp-content/uploads/pdf-materials/modul.pdf

17. Тема № 15 «Уравнения и неравенства с модулем»: https://yagubov.ru/_ld/107/10778_10778Z_Yagubov..pdf

18. Неравенства с модулями: https://yagubov.ru/_ld/96/9659_9659Z_Yagubov.R.pdf

19. Уравнения с модулями: https://100ballnik.com/wp-content/uploads/2022/03/уравнение_с_модулями_задание12_егэ_профиль.pdf

Метод интервалов (универсальный)

Алгоритм:

1. Шаг 1. Найти нули подмодульных выражений.
   Для каждого выражения, стоящего под знаком модуля, решаем уравнение выражение = 0. Полученные числа называются критическими точками.

   Шаг 2. Отметить критические точки на числовой оси.
   Они разбивают всю числовую прямую на несколько промежутков.

   Шаг 3. Определить знаки подмодульных выражений на каждом промежутке.
   Берем пробную точку из каждого промежутка и подставляем в каждое подмодульное выражение, чтобы узнать его знак (плюс или минус).

   Шаг 4. Раскрыть модули на каждом промежутке в соответствии со знаками.
   Если выражение положительно на промежутке, модуль убираем без изменений; если отрицательно — убираем с заменой знака всего выражения (т.е. умножаем его на -1).

   Шаг 5. Решить полученное уравнение (уже без модулей) на каждом промежутке.
   Полученный корень должен принадлежать тому промежутку, для которого мы решали уравнение. Если корень не попадает в промежуток — он отбрасывается.

   Шаг 6. Объединить все подходящие корни.

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Дополнительно

1. ЕГЭ. Уравнения и неравенства, содержащие модули: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/061.pdf

2. Галеев Э.М.Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 1. Рациональные неравенства (метод интервалов). Уравнения высших степеней. Уравнения и неравенства с модулем. Изд. 10-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2012. - 64 c.: https://autobuy.clan.su/0Yagubov/larin/10041Z_Yagubov.RU.pdf

3. Рисберг В. Г. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ I): Учебное пособие под общей ред. И.Ю. Черниковой; ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В.Г. Рисберг; – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_4.pdf
   Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ
   ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 66 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_5.pdf

4. Самаров К.Л. Уравнения и неравенства с модулями: https://www.resolventa.ru/data/metodsch/absvalue.pdf

5. Шахмейстер А. Х. - Уравнения - 2011.pdf

6. Элементарная математика. Уравнения и неравенства с модулем: учеб. пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2020.– 113 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/page_files/posobi_uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pdf

7. И. В. Яковлев. Уравнения с модулем: https://mathus.ru/math/modulur.pdf

8. И. В. Яковлев. Уравнения и неравенства с модулем: https://ege-study.ru/wp-content/uploads/pdf-materials/modul.pdf

Часто при решении алгебраических задач бывает удобно заменить переменную (или переменные, если их несколько) тригонометрической функцией и свести тем самым алгебраическую задачу к тригонометрической.

Алгоритм решения

1. Найти ОДЗ уравнения.

2. Выбрать подстановку исходя из вида иррациональности и ОДЗ.

3. Подставить тригонометрическую функцию вместо переменной.

4. Упростить уравнение, используя тригонометрические тождества.

5. Решить полученное тригонометрическое уравнение.

6. Отобрать корни в пределах выбранного промежутка для угла.

7. Вернуться к исходной переменной.

8. Проверить корни (если были неравносильные преобразования).

Важные замечания

• Всегда учитывайте область значений тригонометрических функций.

• Следите за промежутком для угла — он должен обеспечивать однозначность замены.

• При раскрытии модулей учитывайте знак функции на выбранном промежутке.

• После решения проверяйте корни, особенно если использовались неравносильные преобразования.

Дополнительно

1. Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств [Электронный ресурс] / Р.Ф. Ахвердиев, Е.А. Турилова, А.А. Евсеева и др. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 778 Кб). – Казань: Издательство Казанского университета, 2021. – 61 с. – Систем. требования: Adobe Acrobat Reader. – Режим доступа: https://kpfu.ru/portal/docs/F_360608299/Elementarnaya.matematikaobshhie.metody.resheniya.uravnenij.i.neravenstv.pdf

2. Вовк, Л.П. В61 Алгебраические и иррациональные уравнения. Теория, методы, алгоритмы решения: учеб. пособие для обучающихся общеобразовательных организаций и учреждений дополнительного образования / Л.П. Вовк; «ДОНМАН». - Донецк: ДОНМАН, 2020. – 154 с.: https://donman.donntu.ru/sites/default/files/matematika_vovk_l.p.pdf

3. Шахмейстер А. Х. - Иррациональные уравнения и неравенства - 2011.pdf

4. И. В. Яковлев. Иррациональные уравнения и системы: https://mathus.ru/math/irrurs.pdf

Рекомендую:

1. Показательные уравнения: решение простейших примеров и алгоритмы

2. Показательные уравнения: метод вынесения общего множителя с примерами

3. Показательные уравнения: метод группировки с примерами решений

4. Показательные уравнения: метод замены переменной с примерами решений

5. Показательные неравенства: теория и примеры

Дополнительно:

Источник: https://urok.1sept.ru/articles/696278/article.pdf

1. Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств [Электронный ресурс] / Р.Ф. Ахвердиев, Е.А. Турилова, А.А. Евсеева и др. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 778 Кб). – Казань: Издательство Казанского университета, 2021. – 61 с. : https://kpfu.ru/portal/docs/F_360608299/Elementarnaya.matematikaobshhie.metody.resheniya.uravnenij.i.neravenstv.pdf.

2. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.: https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-15.pdf

3. Баранова Е.В., Менькова С.В. Элементарная математика. - Часть 1: учебно-методическое пособие. – Арзамас: Арзамасский филиал ННГУ, 2014. – 99 с.: http://www.unn.ru/books/met_files/Elementary_math.pdf

4. Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.ссылка

5. Мисяр Н.Н., Потапов Д.И. Методическая разработка «Показательная функции. Показательные уравнения и неравенства. Системы показательных уравнений.» (для самостоятельной работы студентов) – Санкт-Петербург: СПб ГБПОУ "Пожарно-спасательный колледж "Санкт-Петербургский центр подготовки спасателей", 2022. - 30 с.: https://cps-spb.ru/files/sveden/obrazovinie/metod/Методическа_разработака_Потапов_Мисяр.pdf

6. Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.: https://dist-tutor.info/file.php/216/Povyshenie_kvalifikacii/02.pdf

Дополнительно

1. matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf

2. ЕГЭ. Показательные и логарифмические уравнения: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf

3. ЕГЭ. Показательные и логарифмические неравенства: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/060.pdf

4. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.: https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-15.pdf

5. Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.

6. Масанина Т.Н. Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Учебное пособие. Сургутский политехнический колледж, 2023: https://s3.yandexcloud.net/pedproject/01/wp-content/uploads/2023/12/МасанинаТ.Н.-Османкина-С.И.-Сборник.pdf

7. Паркевич Егор Вадимович. Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

8. Рисберг В. Г. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 1): Учебное пособие под общей ред. И. Ю. Черниковой / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_8.pdf

9. Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 2): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова. – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 64 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_9.pdf

10. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие. — М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. — 352 с.

11. Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.: https://dist-tutor.info/file.php/216/Povyshenie_kvalifikacii/02.pdf

12. Элементарная математика. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие / А. В. Фирер, Е. Н. Яковлева. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2025. – 112 с.:https://lpi.sfu-kras.ru/files/a._v._firer_em_pokaz_logarifm_uravn_neravenstva_firer_yakovleva.pdf

13. И. В. Яковлев. Показательные неравенства (задания): ttps://mathus.ru/math/pokazaner.pdf

Примеры 2

1. Общая идея

Уравнения вида:

sin(-kx) = a, cos(-mx) = b, tg(-nx) = c

или

sin(-x + b) = a, cos(-x - π/3) = c

Ключевой принцип: Используем чётность/нечётность тригонометрических функций.

2. Свойства чётности

Запомним:

• sin(-t) = -sin t → нечётная

• cos(-t) = cos t → чётная

• tg(-t) = -tg t → нечётная

• ctg(-t) = -ctg t → нечётная

3. Простейшие случаи

Пример 1: sin(-x) = 1/2

Используем нечётность синуса:

sin(-x) = 1/2
-sin x = 1/2
sin x = -1/2

Теперь решаем стандартное уравнение:

x = (-1)^k·arcsin(-1/2) + πk
arcsin(-1/2) = -π/6
x = (-1)^k·(-π/6) + πk

Пример 2: cos(-x) = 1/2

Используем чётность косинуса:

cos(-x) = 1/2
cos x = 1/2
x = ±π/3 + 2πn

Важно: Минус просто исчез!

Пример 3: sin(-3x + π/4) = √2/2

Через нечётность

sin(-3x + π/4) = √2/2
-sin(3x - π/4) = √2/2
sin(3x - π/4) = -√2/2

Теперь решаем:

3x - π/4 = (-1)^k·arcsin(-√2/2) + πk
arcsin(-√2/2) = -π/4
3x - π/4 = (-1)^k·(-π/4) + πk
3x = π/4 - (-1)^k·π/4 + πk
x = π/12 - (-1)^k·π/12 + πk/3

Общий алгоритм:

1. Сделать замену: t = (выражение с x)
2. Решить простое уравнение: sin t = a или cos t = a
3. Вернуться к старой переменной: (выражение с x) = t
4. Решить полученное уравнение относительно x

Пример 1: sin 2x = √3/2

Шаг 1: Замена

Пусть t = 2x
Тогда уравнение становится: sin t = √3/2

Шаг 2: Решаем sin t = √3/2

Знаем, что sin(π/3) = √3/2 и sin(2π/3) = √3/2
Общее решение:

t = π/3 + 2πn, n ∈ ℤ
t = 2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ

Или в компактной форме:
t = (-1)^k·π/3 + πk, k ∈ ℤ

Шаг 3: Возвращаемся к x

Так как t = 2x, то 2x = π/3 + 2πn или 2x = 2π/3 + 2πn

Шаг 4: Делим на 2

x = π/6 + πn, n ∈ ℤ
x = π/3 + πn, n ∈ ℤ

Ответ:
x = π/6 + πn или x = π/3 + πn, n ∈ ℤ

Пример 2: tg(3x - π/6) = 1

1. Замена: t = 3x - π/6  → tg t = 1

2. t = π/4 + πn, n ∈ ℤ

3. 3x - π/6 = π/4 + πn

4. 3x = π/4 + π/6 + πn = 3π/12 + 2π/12 + πn = 5π/12 + πn

5. x = 5π/36 + πn/3, n ∈ ℤ

Это обратные тригонометрические функции.

1. Основная идея: они "возвращают" угол

Если обычные функции по углу дают число:

• sin(30°) = 0.5

• cos(60°) = 0.5

То обратные функции по числу возвращают угол:

• arcsin(0.5) = 30°  (или π/6 радиан)

• arccos(0.5) = 60°  (или π/3 радиан)

2. Что означает приставка "arc"?

"Arc" — это дуга. На тригонометрическом круге:

• arcsin a — это длина дуги  (в радианах) или угол, синус которого равен a

• arccos a  — угол, косинус которого равен a

• arctg a — угол, тангенс которого равен a

Без обратных функций мы не смогли бы записать решение уравнений!

Пример: sin x = 0.7
 x = arcsin(0.7) + 2πn или x = π - arcsin(0.7) + 2πn

Главное запомнить:

• arcsin: от -90° до 90° [-π/2, π/2]

• arccos: от 0° до 180° [0, π]

• arctg: от -90° до 90° (-π/2, π/2)

Общий алгоритм для любого отрезка [a; b]:

1. Записать общее решение уравнения.

2. Для каждой серии решений с параметром n:

   • Составить двойное неравенство: a ≤ (формула с n) ≤ b

   • Решить это неравенство относительно n.

   • Найти все целые  n, удовлетворяющие неравенству.

   • Для каждого такого n вычислить x.

3. Объединить все найденные x из всех серий.

4. Проверить, что каждый x действительно лежит в [a; b] (иногда при округлении могут быть ошибки).

5. Упорядочить корни по возрастанию.

Важно: Если отрезок большой (длина > 2π), то в каждой серии может быть несколько подходящих n. Если отрезок маленький, корней может не быть вообще!

2. Подробный разбор на примере

Решить sin x = 1/2 и выбрать корни на [-2π; -π]

Шаг 1: Общее решение
x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn

Шаг 2: Первая серия x = π/6 + 2πn
Нужно: -2π ≤ π/6 + 2πn ≤ -π
-2π - π/6 ≤ 2πn ≤ -π - π/6
-13π/6 ≤ 2πn ≤ -7π/6
-13/12 ≤ n ≤ -7/12 ≈ -0.583...

Целое n: n = -1
x = π/6 - 2π = -11π/6 ≈ -5.76
Проверяем: -6.283 ≤ -5.76 ≤ -3.14 ✓

Шаг 3: Вторая серия x = 5π/6 + 2πn
Нужно: -2π ≤ 5π/6 + 2πn ≤ -π
-2π - 5π/6 ≤ 2πn ≤ -π - 5π/6
-17π/6 ≤ 2πn ≤ -11π/6
-17/12 ≤ n ≤ -11/12 ≈ -0.916...

Целое n: n = -1
x = 5π/6 - 2π = -7π/6 ≈ -3.665
Проверяем: -6.283 ≤ -3.665 ≤ -3.14 ✓

Ответ: x₁ = -11π/6, x₂ = -7π/6

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Задача: В треугольнике ABC проведена медиана BM. Площадь треугольника ABM равна 15 см². Чему равна площадь треугольника ABC?

Решение: Так как медиана делит треугольник на два равновеликих, то S(ABM) = S(MBC) = 15 см².

Следовательно, S(ABC) = S(ABM) + S(MBC) = 15 + 15 = 30 см².

• В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача: В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите длину медианы AD, если AO = 10 см.

Решение: Точка O делит медиану AD в отношении AO : OD = 2 : 1.

Значит, AO = (2/3) * AD.

10 = (2/3) * AD => AD = 15 см.

• Если в треугольнике медиана, проведенная к некоторой стороне, равна половине этой стороны, то этот треугольник — прямоугольный, а указанная сторона — гипотенуза.

Задача: В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) медиана CM = 6 см. Найти гипотенузу AB.

Решение: из свойства: CM = 1/2 * AB ⇒ AB = 2 * CM = 2 * 6 = 12 см.

Медиана к гипотенузе (CM) — это радиус описанной окружности. Точка M (середина гипотенузы) — центр описанной окружности. Это единственный вид треугольника, у которого центр описанной окружности лежит на одной из его сторон.

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части.

1. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла. Если точка равноудалена от сторон угла, то она обязательно лежит на биссектрисе этого угла.

2. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

3. Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла.

4. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника.

5. Биссектриса угла треугольника делит сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам, т.е. b1 : c1 = b : c .

6. Биссектриса треугольника делит площадь треугольника в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам

• В треугольнике ABC биссектриса CD делит сторону AB на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: AD : DB = AC : BC. То есть больший получившийся отрезок во столько же раз длиннее меньшего, во сколько раз большая из сторон при вершине длиннее меньшей.

В треугольнике со сторонами AB=13, BC=14, CA=15: проведена биссектриса CD к стороне AB.

Биссектриса CD делит сторону AB в отношении прилежащих сторон:

AD : DB = AC : BC = 15 : 14

Пусть AD = 15x, DB = 14x.

Так как AD + DB = AB = 13:

15x + 14x = 13
29x = 13
x = 13/29

Отсюда:

AD = 15 × (13/29) = 195/29 
DB = 14 × (13/29) = 182/29

• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.

Биссектриса делится точкой пересечения O (инцентром) в отношении суммы прилежащих сторон к противоположной стороне.

AO : OA₁ = (AB + AC) : BC
BO : OB₁ = (BA + BC) : AC
CO : OC₁ = (CA + CB) : AB

где A₁, B₁, C₁ — точки пересечения биссектрис с противолежащими сторонами.

В треугольнике со сторонами AB=13, BC=14, CA=15:

Биссектриса AA₁ делится точкой O в отношении:

AO : OA₁ = (AB+AC) : BC = (13+15) : 14 = 28 : 14 = 2 : 1

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу

Катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

https://study.tinpul.ru/pryamougolnyj-treugolnik/

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD (BC || AD) диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Тогда:

1. ΔBOC ~ ΔAOD (треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны).
   Доказательство:
   ∵ BC ║ AD, то:
   ∠OBC = ∠ODA (накрест лежащие при BC║AD и секущей BD),
   ∠OCB = ∠OAD (накрест лежащие при BC║AD и секущей AC),
   ∠BOC = ∠AOD (вертикальные углы).
   ⇒ ΔBOC ~ ΔAOD (по двум углам).

2. Коэффициент подобия: k = BC / AD.

3. Следствия:

   • Отношение отрезков диагоналей:  BO / OD = CO / OA = BC / AD.

   • Отношение площадей:  S(BOC) / S(AOD) = (BC / AD)²

     .

Дано: трапеция ABCD, BC = 4, AD = 10, OD = 15.
Найти: BO.
Решение:
ΔBOC ~ ΔAOD ⇒ BO / OD = BC / AD.
BO / 15 = 4 / 10 ⇒ BO = 15 * 4 / 10 = 6.
Ответ: BO = 6.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C — прямой (∠C = 90°).
CH — высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе AB.

Утверждение:
Высота CH делит треугольник ABC на два треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику ABC и подобен друг другу.

1. ΔACH ~ ΔABC

2. ΔCBH ~ ΔABC

3. ΔACH ~ ΔCBH

Из этих подобий выводятся знаменитые формулы, связывающие отрезки в прямоугольном треугольнике.

1. Квадрат высоты равен произведению проекций катетов:
   Из подобия ΔACH ~ ΔCBH следует:
   CH / BH = AH / CH ⇒ CH² = AH * BH.

2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

   • Из ΔACH ~ ΔABC:  AC / AB = AH / AC  ⇒ AC² = AB * AH.

   • Из ΔCBH ~ ΔABC: BC / AB = BH / BC ⇒ BC² = AB * BH

     .

3. "Высотная" теорема Пифагора: Если сложить два последних равенства, получим классическую теорему Пифагора:
   AC² + BC² = AB*(AH + BH) = AB * AB = AB².

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH = 9 и BH = 16. Найдите:
а) Высоту CH.
б) Катеты AC и BC.

Решение:

1. Находим гипотенузу: AB = AH + BH = 9 + 16 = 25.

2. Находим высоту (следствие 1): CH² = AH * BH = 9 * 16 = 144 ⇒ CH = 12.

3. Находим катеты (следствие 2):

   • AC² = AB * AH = 25 * 9 = 225 ⇒ AC = 15

     .

   • BC² = AB * BH = 25 * 16 = 400 ⇒ BC = 20

     .

Ответ: CH = 12, AC = 15, BC = 20.

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Параллелограмм ABCD. Стороны: AB = CD = a, BC = AD = b. Диагонали: AC = d₁, BD = d₂.

Теорема. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов двух смежных сторон.

Формула: d₁² + d₂² = 2(a² + b²)