Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Задача: В треугольнике ABC проведена медиана BM. Площадь треугольника ABM равна 15 см². Чему равна площадь треугольника ABC?

Решение: Так как медиана делит треугольник на два равновеликих, то S(ABM) = S(MBC) = 15 см².

Следовательно, S(ABC) = S(ABM) + S(MBC) = 15 + 15 = 30 см².

• В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача: В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите длину медианы AD, если AO = 10 см.

Решение: Точка O делит медиану AD в отношении AO : OD = 2 : 1.

Значит, AO = (2/3) * AD.

10 = (2/3) * AD => AD = 15 см.

• Если в треугольнике медиана, проведенная к некоторой стороне, равна половине этой стороны, то этот треугольник — прямоугольный, а указанная сторона — гипотенуза.

Задача: В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) медиана CM = 6 см. Найти гипотенузу AB.

Решение: из свойства: CM = 1/2 * AB ⇒ AB = 2 * CM = 2 * 6 = 12 см.

Медиана к гипотенузе (CM) — это радиус описанной окружности. Точка M (середина гипотенузы) — центр описанной окружности. Это единственный вид треугольника, у которого центр описанной окружности лежит на одной из его сторон.

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части.

1. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла. Если точка равноудалена от сторон угла, то она обязательно лежит на биссектрисе этого угла.

2. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

3. Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла.

4. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника.

5. Биссектриса угла треугольника делит сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам, т.е. b1 : c1 = b : c .

6. Биссектриса треугольника делит площадь треугольника в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам

• В треугольнике ABC биссектриса CD делит сторону AB на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: AD : DB = AC : BC. То есть больший получившийся отрезок во столько же раз длиннее меньшего, во сколько раз большая из сторон при вершине длиннее меньшей.

В треугольнике со сторонами AB=13, BC=14, CA=15: проведена биссектриса CD к стороне AB.

Биссектриса CD делит сторону AB в отношении прилежащих сторон:

AD : DB = AC : BC = 15 : 14

Пусть AD = 15x, DB = 14x.

Так как AD + DB = AB = 13:

15x + 14x = 13
29x = 13
x = 13/29

Отсюда:

AD = 15 × (13/29) = 195/29 
DB = 14 × (13/29) = 182/29

• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.

Биссектриса делится точкой пересечения O (инцентром) в отношении суммы прилежащих сторон к противоположной стороне.

AO : OA₁ = (AB + AC) : BC
BO : OB₁ = (BA + BC) : AC
CO : OC₁ = (CA + CB) : AB

где A₁, B₁, C₁ — точки пересечения биссектрис с противолежащими сторонами.

В треугольнике со сторонами AB=13, BC=14, CA=15:

Биссектриса AA₁ делится точкой O в отношении:

AO : OA₁ = (AB+AC) : BC = (13+15) : 14 = 28 : 14 = 2 : 1

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу

Катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

https://study.tinpul.ru/pryamougolnyj-treugolnik/

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD (BC || AD) диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Тогда:

1. ΔBOC ~ ΔAOD (треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны).
   Доказательство:
   ∵ BC ║ AD, то:
   ∠OBC = ∠ODA (накрест лежащие при BC║AD и секущей BD),
   ∠OCB = ∠OAD (накрест лежащие при BC║AD и секущей AC),
   ∠BOC = ∠AOD (вертикальные углы).
   ⇒ ΔBOC ~ ΔAOD (по двум углам).

2. Коэффициент подобия: k = BC / AD.

3. Следствия:

   • Отношение отрезков диагоналей:  BO / OD = CO / OA = BC / AD.

   • Отношение площадей:  S(BOC) / S(AOD) = (BC / AD)²

     .

Дано: трапеция ABCD, BC = 4, AD = 10, OD = 15.
Найти: BO.
Решение:
ΔBOC ~ ΔAOD ⇒ BO / OD = BC / AD.
BO / 15 = 4 / 10 ⇒ BO = 15 * 4 / 10 = 6.
Ответ: BO = 6.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C — прямой (∠C = 90°).
CH — высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе AB.

Утверждение:
Высота CH делит треугольник ABC на два треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику ABC и подобен друг другу.

1. ΔACH ~ ΔABC

2. ΔCBH ~ ΔABC

3. ΔACH ~ ΔCBH

Из этих подобий выводятся знаменитые формулы, связывающие отрезки в прямоугольном треугольнике.

1. Квадрат высоты равен произведению проекций катетов:
   Из подобия ΔACH ~ ΔCBH следует:
   CH / BH = AH / CH ⇒ CH² = AH * BH.

2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

   • Из ΔACH ~ ΔABC:  AC / AB = AH / AC  ⇒ AC² = AB * AH.

   • Из ΔCBH ~ ΔABC: BC / AB = BH / BC ⇒ BC² = AB * BH

     .

3. "Высотная" теорема Пифагора: Если сложить два последних равенства, получим классическую теорему Пифагора:
   AC² + BC² = AB*(AH + BH) = AB * AB = AB².

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH = 9 и BH = 16. Найдите:
а) Высоту CH.
б) Катеты AC и BC.

Решение:

1. Находим гипотенузу: AB = AH + BH = 9 + 16 = 25.

2. Находим высоту (следствие 1): CH² = AH * BH = 9 * 16 = 144 ⇒ CH = 12.

3. Находим катеты (следствие 2):

   • AC² = AB * AH = 25 * 9 = 225 ⇒ AC = 15

     .

   • BC² = AB * BH = 25 * 16 = 400 ⇒ BC = 20

     .

Ответ: CH = 12, AC = 15, BC = 20.

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Параллелограмм ABCD. Стороны: AB = CD = a, BC = AD = b. Диагонали: AC = d₁, BD = d₂.

Теорема. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов двух смежных сторон.

Формула: d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

 Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:

 ∼ противоположные углы ромба попарно равны;

∼ соседние углы ромба в сумме дают 180∘;

∼ диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 Теорема: свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

  Теорема: признаки ромба

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.

 2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.

 3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:

 ∼ противоположные стороны попарно равны;

∼ диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теоремы: свойства прямоугольника

1) Все углы прямоугольника прямые.

 2) Диагонали прямоугольника равны

Следствие

Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. OA=OB=OC=OD.

 Теоремы: признаки прямоугольника

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

 2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.

Два эквивалентных определения квадрата:

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого один угол прямой.

 Свойства квадрата

Так как квадрат является прямоугольником и ромбом, то он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:

∼ Все углы квадрата равны 90∘;

∼ Все стороны квадрата равны;

∼ Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

 Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

 Теоремы: свойства трапеции

 1) Сумма углов при боковой стороне равна 180∘.

 2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики. Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

 Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

 2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

 3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

 2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

 1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
 3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).
 4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360°
 5. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
 6. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.
 7. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

Центральным углом окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.

Краткие справочники. Шпаргалки-формулы.

Системы заданий.

Пособия

.

Свойства углов треугольника — это фундаментальная тема в геометрии, которая помогает решать множество задач. В этой статье мы подробно разберём основные теоремы, формулы и рассмотрим примеры с решениями.