Задачи на круговое движение, где один участник догоняет другого, часто пугают своей сложностью. Однако у них есть четкая логика и универсальные приемы решения. Давайте разберем конкретную задачу, а затем рассмотрим общие принципы.
Условие
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.
Решение
1. Перевод единиц времени в часы
Так как скорость требуется в км/ч, переведем минуты в часы:
20 минут =20/60=1/3 часа.
5 минут =5/60=1/12 часа.
46 минут =46/60=23/30 часа.
2. Обозначения
Пусть:
3. Первая встреча (нахождение соотношения скоростей)
К моменту первой встречи:
Пройденные ими расстояния равны:
m⋅1/12=v⋅5/12
Умножая обе части уравнения на 12, получаем:
m=5v ⇒ v=m/5
4. Промежуток между первой и второй встречей (использование длины круга)
За время t=23/30 часа, прошедшее между первой и второй встречами, мотоциклист проехал на один полный круг больше, чем велосипедист. Следовательно, разность пройденных ими путей равна длине круга:
m⋅23/30−v⋅23/30=46
Выносим общий множитель:
23/30(m−v)=46
5. Решение
Подставляем m−v=5v−v=4v из первого уравнения:
23/30⋅4v=46
92/30v=46
v=46⋅30/92 = 46/92 ⋅ 30=1/2⋅30=15 км/ч
Теперь находим скорость мотоциклиста:
m=5v=5⋅15=75 км/ч
Альтернативный способ (через скорость сближения)
Скорость сближения мотоциклиста и велосипедиста равна m−v.
За время 23/30 часа мотоциклист догоняет велосипедиста на длину круга (46 км):
(m−v)⋅23/30=46
Отсюда:
m−v=46⋅30/23=60 км/ч
Используя соотношение m=5v из первой встречи, получаем 5v−v=4v=60, следовательно v=15 км/ч, а m=75 км/ч.
Общий подход
Ключевой момент — «лишний круг». При движении в одну сторону более быстрый объект догоняет более медленный тогда, когда проезжает дистанцию, ровно на длину круга (или несколько кругов) большую, чем медленный. Именно это условие используется для составления второго уравнения. В нашей задаче: «За 46 минут мотоциклист проехал на 46 км больше».
Формула:
Путь мотоциклиста — Путь велосипедиста = Длина круга × k
, где k — номер обгона (при втором обгоне k=1, то есть ровно один круг).
Приведение к единым единицам измерения. Если в условии время дано в минутах, а ответ требуется в км/ч, всегда переводите минуты в часы (или наоборот) перед началом вычислений, чтобы не ошибиться с размерностью.
Нахождение соотношения скоростей из факта первой встречи. Первая встреча почти всегда происходит до того, как мотоциклист проедет полный круг. Это позволяет приравнять пути, пройденные до встречи, и найти, во сколько раз одна скорость больше другой. Это избавляет от введения двух неизвестных .
Использование скорости сближения. Альтернативный способ — смотреть на скорость сближения.
Для первого обгона: Иногда его используют, чтобы найти соотношение скоростей.
Для второго обгона: Скорость сближения (m−v) — это скорость, с которой мотоциклист «догоняет» круг. Если за время t2 он выигрывает ровно круг (L), то: (m−v)=L/t2
В нашей задаче: m−v=46⋅30/23=60 км/ч.
А так как m=5v, то 5v−v=4v=60, v=15, m=75. Это более прямой путь, использующий тот же принцип «лишнего круга» .
Таким образом, универсальный алгоритм для таких задач:
Перевести все временные промежутки в одинаковые единицы (часы).
Из условия первой встречи составить пропорцию путей (или уравнение), чтобы найти соотношение скоростей m/v.
Из условия второй встречи (или промежутка между встречами) составить уравнение, используя тот факт, что разность пройденных путей равна длине круга.
Решить полученную систему.
